Matematika za svakoga

"Kada se ovako popodne vozite tramvajom", kaže neki čovjek, "ima se utisak da u njemu ima triput više žena nego muškaraca!" Njegov suputnik spontano prebroji putnike i ustanovljava: "Vaša tvrdnja je u dlaku točna, barem što se tiče ovog tramvaja!" Tramvaj se zaustavlja na stanici, iz njega izlaze samo žene, a u nj ulaze samo muškarci i ima ih četiri puta manje u odnosu na izašle žene. "Situacija je sada podnošljivija,u tramvaju je sada samo duplo više žena nego muškaraca!", nastavlja čovjek dalje prema svom suputniku. Tramvaj vozi dalje, na slijedecoj stanici ulazi samo jedna žena. Kako nitko od putnika nema namjeru izići, predloži čovjek: "Izađimo nas dvojica ovdje van, tada će se opet uspostaviti stari omjer 3:1 u korist žena."
Koliko žena i koliko muškaraca nastavlja nakon toga vožnju tramvajom?
(Zadatak je preuzet iz knjige: "Zagonetke i mozgalice" autora Klasa Rechbergera)

Rješenje:
Ja se u ovakvim zadacima obično hvatam za nešto konkretno, u našem slučaju to imamo na kraju zadatka: jedna žena je ušla, a dva muškarca su izašla. Također znamo da je nakon prve stanice odnos žena i muškaraca bio 2:1. Označimo ih stoga sa 2x i x.Na posljednjoj stanici situacija se mijenja i možemo je izraziti jednadžbom: (2x + 1) = 3(x-2). Iz ovoga slijedi: x = 7 i zaključujemo da je put nastavilo 15 (2 × 7 + 1) žena i 5 (7 - 2) muškaraca.
Možemo se vratiti i nazad pa dobijemo da smo nakon prve stanice imali 14 (2×7) žena i 7 muškaraca. Početnu situaciju dobijamo ovako: Neka je na prvoj stanici 4y žena izašlo, a y muškaraca ušlo, sad znamo da je ostalo 14 žena i 7 muškaraca. Prema ovome slijedi da je na početku bilo (14 + 4y) žena i (7 - y) muškaraca, a znamo da je njihov odnos bio 3 : 1. Izrazimo to jednadžbom 14 + 4y = 3(7 - y), iz čega slijedi y=1 i početno stanje 18 žena i 6 muškaraca.

Ovaj zadatak mogli smo riješiti i krenuvši od početka. Mogli smo stanje na početku prikazati kao 3x žena i x muškaraca. Na prvoj stanici morali bismo unijeti novu varijablu y i njome bismo označili broj muškaraca koji su ušli (y) i broj žena koje su izašle (4y).
Ispunjavajući dalje uvjete zadatka došli bismo do novog stanja: (3x - 4y) žena i (x + y) muškaraca. Na isti način dobijemo zaključno stanje (3x - 4y + 1) žena i (x + y -2) muškarca, za koje ponovo vrijedi odnos 3:1. Iz jednadžbe 3x - 4y + 1= 3(x + y - 2) nakon poništavanja x dobijemo y = 1. Vratimo se na stanje nakon prve stanice i dobijemo (3x - 4) žena i (x + 1) muškaraca, za koje vrijedi odnos (3x - 4) = 2 (x + 1) iz čega slijedi x = 6 i zadatak je riješen.

Kao što vidite, drugi način dosta je kompliciraniji i nejasniji i možemo reći da je riješen "bez upaljene sijalice u glavi"!

Oznake: tramvaj, putnici

Ovaj zadatak predstavljen je učenicima prvih razreda osnovne škole, kao i maturantima, studentima i profesorima matematike. I dok su matematičari satima tražili rješenje, prvašićima je za rješenje trebalo nekoliko minuta!

56784=4
11111=0
72348=3
88652=5

88811=6
75213=0
65465=3
62257=?

Koji broj dolazi na mjesto upitnika?
(Pomoć: Prepišite zadatak na papir i činite to polako, možda vam sine rješenje!)

Rješenje:
Neki brojevi nekim svojim dijelovima obrazuju zatvorene (oivičene) površine. Npr. Broj 6 ima jednu takvu površinu, broj 8 dvije, dok npr. broj 3 nema niti jednu. Pobrojimo li ukupan broj takvih površina u brojevima s lijeve strane jednakosti, dobit ćemo broj zdesna. Rješenje je stoga 1.

Evo jednog teškog zadatka, izdvojite malo vremena i pokušajte ga riješiti samostalno.

Neki čovjek nalazi se u robnoj kući. Prilazi pokretnim stepenicama(elevatoru) i pada mu napamet da ih izbroji, ali to je neizvedivo jer su one stalno u pokretu. Stoga ih prvo broji dok se jednolikim tempom uspinje nasuprot njima i pri tome izbroji 90 stepenica. Potom se istim tempom spušta nazad, dakle sada u istom smjeru kao i stepenice i pritom izbroji samo 60 stepenica. Koliko stepenica će čovjek izbrojiti u slučaju da prolazi elevatorom koji miruje?

(Pomoć: rješenje je 72 stepenice).

Rješenje:
Polazimo od formule s=v * t, gdje je v konstantna brzina, s je put, a t vrijeme potrebno da se prijeđe taj put pri toj brzini. U našem slučaju put je duljina elevatora. Uzmimo da se čovjek kreće brzinom v1, a elevator brzinom v2. Naravno da v1 > v2, jer čovjek inače ne bi mogao napredovati protiv elevatora. Što se tiče trajanja uspona i silaska, mozemo reći da uspon traje 90 vremenskih jedinica, a silazak 60. Duljina elevatora nije nam bitna, a nisu nam bitne ni brzine čovjeka i elevatora. Te varijable medjusobno su proporcionalne, što se lako pokazuje ako krenemo sa dvije jednadzbe:
put=(v1+v2)*60 i
put=(v1-v2)*90.
Iz ovoga dobivamo v1=put/72 i v2= put/36. Sada jos tražimo koliko vremenskih jedinica( isto nije bitno kojih) treba čovjeku da prođe elevator dok je nepokretan, dakle trazimo t iz jednadzbe put=v1*t => put = put/72 * t, iz cega slijedi t=72. Kako smo t poistovjetili sa brojem stepenica, ispada da elevator ima 72 stepenice.

Oznake: matematika zadatak

Evo jedne mozgalice iz knjige "Ali Baba i 39 deva", autora Karla Menningera.
Kad Ali Baba ostari, odluči svoju imovinu raspodijeliti na svoje potomstvo. Stoga pozove k sebi Fatmu,svoju omiljenu kćer jedinicu. "Fatmo, oči moje duše", reče joj, "evo, napunio sam 70 godina, imam 39 deva, 3 sina i tebe. Poslušaj, zvijezdo moga života, kako ću podijeliti deve: Ali, koji mi je najsličniji i nosi moje ime, dobiti će polovicu; Hussein, koji je divlji, ali dobar u duši, dobiti će četvrtinu; Muhammed, tih, zatvorenog srca, dobiti će osminu; a ti, Fatmo, dok si još uvijek u kući svoje braće, dobiti ćeš desetinu deva, tako da ne ovisiš o njihovoj milosti. Budite mi dobro!"
Kada se braća navečer vratiše kući, otac već bješe mrtav i Fatma reče: "Svađe oko nasljedstva neće biti jer mi je otac saopćio svoju volju!" I rastumači je potom svojoj braći. Ali kada je deve trebalo raspodijeliti, usplahiriše se braća, jer kako, zaboga, podijeliti 39 deva u dvije polovice, bez da se ijedna zakolje? Ili uzeti četvrtinu, osminu ili desetinu od njih?
I dosjeti se Fatma: "Ibn Musa, prijatelj našeg oca i mudar čovjek neka odluči, poslušat ćemo njegovu riječ!" Braća se složiše. I dojaše Ibn Musa na svojoj bijeloj devi, zaveže je oko palme u dvorištu i reče: "Čuo sam za Ali Babinu oporuku, on je bio moj prijatelj i ja ću biti pravedan prema vama. Dovedite deve u dvorište!"
Kako je mudrom Ibn Musi uspjelo ispuniti posljednju volju svoga prijatelja, bez da se ijedna deva zakolje i raspolovi?

Rješenje:
Mudri Ibn Musa dodao je svoju vlastitu devu devama pokojnog Ali Babe, tako da ih je sada u dvoru bilo četrdeset. I tada ih raspodijeli točno prema želji pokojnika: Ali dobi jednu polovicu, dakle 20 deva; Husseina dopadne četvrtina, dakle 10 deva; Muhammed primi osminu, dakle 5 i Fatma uze jednu desetinu, odnosno 4 deva. Ukupno je raspodijeljeno, dakle, 20 + 10 + 5 + 4 = 39 deva. Preostala je bijela deva, koju mudri Ibn Musa ponovo uzme sebi.

Oznake: Ali Baba

Ako je zec udaljen od psa 30 psećih skokova i ako razmak koji pas dostigne skočivši 6 puta, zec dostigne skočivši 7 puta, koliko će skokova trebati psu da dostigne zeca?

Rješenje:
U zadatku nije naznačeno, ali polazimo od toga da i pas i zec skaču istim tempom, dakle u jednakim razmacima, samo su zečji skokovi kraći. Kakva je situacija nakon sedam skokova? Zec je sa sedam svojih skokova prešao distancu od šest psećih skokova, dok je pas skočio sedam puta, dakle jedan skok više i time je smanjio razdaljinu na 29 psećih skokova. Lako zaključujemo da je potrebno 30 * 7 = 210 skokova da pas dostigne zeca.

Oznake: lov

Prvog jutra odmora u planinama gost naruči šalicu crne kave i zdjelicu mlijeka.Ispija gutljaj kave (točno jednu šestinu količine) i natoči točno toliko mlijeka u šalicu koliko je upravo ispio kave. Čini se da mu nova mješavina godi, jer sada sada uzima jači gutljaj(točno jednu trećinu sadržaja šalice). Ponovo ulijeva mlijeka koliko je upravo popio mješavine (jedna trećina šalice), dakle ponovo napuni čašu. Sa trećim gutljajem zadovoljni gost ispija pola šalice i ponovno puni čašu mlijekom. Kava s mlijekom sada je toliko dobra da je gost ispija nadušak. Da li je, gledajući od početka ispijanja kave, gost popio više mlijeka, više kave ili je popio u jednakoj količini i mlijeko i kavu?

Rješenje:

Znamo da je gost počeo sa punom šalicom kave. Kavu više nije dolijevao, znači do kraja je popio točno jednu šalicu čiste kave. Koliko je popio mlijeka? Prvo je dolio mlijeka u količini jedne šestine šalice. Nakon drugog ispijanja dolio je mlijeka u količini jedne trećine šalice i nakon trećeg ispijanja još pola šalice. Ukupno je, dakle, u šalicu utočeno 1/6 + 1/3 + 1/2 = 1 šalica mlijeka, gost je stoga popio jednaku količinu kave i mlijeka!

Oznake: kava, šalica.

Za danas sam pripremio dva zadatka.

Prvi zadatak: Bacvice (Kvizorama br.1280, studeni 2016.)
U vinskome podrumu nalazi se sest bacvica razlicite zapremine. U njih redom stane 14, 15, 16, 17, 18 i 23 litre vina. Neke su bacvice pune bijelog vina, a neke crvenog vina. Jedna je bacvica prazna. Ako bijeloga vina ima dvaput vise nego crvenoga, recite koje je vino u kojoj bacvici i koja je od sest bacvica prazna!

Rjesenje:
Polazimo od cinjenice da bijeloga vina ima duplo vise od crvenoga. To znaci da ukupan broj litara dijelimo na 2/3 bijeloga i 1/3 crvenoga, a to znaci da je ukupan broj litara djeljiv sa tri. To se dogadja u jednom jedinom slucaju: kada je bacvica od 16 litara prazna! Tada dobijamo brojku od 87 litara (14+15+17+18+23) koju moramo podijeliti na 2/3 bijeloga(58 l) i 1/3 crvenoga (29 l). Tu kombinaciju takodjer dobijamo u jednom jedinom slucaju, kada bacvice od 14 i 15 litara napunimo crvenim, a bacvice od 17,18 i 23 l napunimo bijelim vinom.



Drugi zadatak: Zasto spominje psa?
Na adresi http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/die-kniffligsten-mathe-raetsel-und-ihre-loesungen-a-819639.html pronasao sam zanimljiv zadatak. Autor napominje da je katkada u rjesavanju matematickih zadataka potrebno usmjeriti paznju na naoko nebitne stvari. Poslusajmo zadatak:

U vlaku se sretnu dva matematicara Rusa. U razgovoru jedan otkrije da ima tri sina.
- Zaista, a koliko imaju godina? - upita ga kolega.
- Matematicar ste kao i ja, pa cu Vam reci ovako: Umnozak njihovih godina je 36, a zbroj je jednak danasnjem datumu (mislim na redni broj dana u mjesecu).
- Hmmm, nazalost te informacije mi nisu dostatne da tocno odredim njihove godine, kolega!
- Oh, da, zaboravio sam Vam napomenuti da moj najstariji sin ima psa!
Eto, naoko besmisleni podatak otkrio je kolegi matematicaru tocne godine!


Rjesenje:
Znamo da je umnozak godina 36, koje su moguce kombinacije?
1. 1-1-36 (38)
2. 1-2-18 (21)
3. 1-3-12 (16)
4. 1-4-9 (14)
5. 1-6-6 (13)
6. 2-2-9 (13)
7. 2-3-6 (11)
8. 3-3-4 (10)
Prvu kombinaciju izbacujemo, 38. dan u mjesecu ne postoji. Peta i sesta kombinacija daju isti zbroj. Zasto drugi matematicar nije odmah mogao odgonetnuti kombinaciju? Pa zato jer se dvoumio upravo izmedju ove dvije kombinacije,da je npr. bio 11. u mjesecu, odmah bi znao da se radi o kombinaciji 2-3-6. Ovako nije bio siguran, dok mu nije receno da najstariji sin ima psa. Sada je mogao konstatirati da se radi o kombinaciji 2-2-9, gdje najstariji sin ima devet godina ( u kombinaciji 1-6-6 postoje dva najstarija sina, sto nije u uvjetu zadatka).

Oznake: matematika, zadaci

Zadnjih mjeseci moje bavljenje matematikom svodi se na rješavanje sudokua te povremenu kupnju 'Kvizorame'. U 'Kvizorami' postoji rubrika 'Profesor Pitagora' koju uređuje doktor Zdravko Kurnik. Danas možemo zajedno pogledati zadatke iz broja 1256.

Filip je htio kupiti pet bilježnica, ali mu je nedostajalo 9 kuna. Kupio je četiri bilježnice, pa mu je devet kuna preostalo Koliko je kuna imao Filip kad je krenuo u kupnju bilježnica?

Filipu je pri kupnji 4 bilježnica preostalo 9 kuna, a znamo da mu je to bilo nedovoljno za još jednu bilježnicu. Za nju mu je nedostajalo još 9 kuna, što znači da je cijena jedne bilježnice 18 kuna. Na početku je Filip dakle imao 4 * 18 + 9= 81 kunu.


Profesor Pitagora pronašao je kutiju šarenih staklenih špekula kojima se igrao kad je bio dječak. Okupio je svoje nećake i njihove prijatelje i 72 špekule, koliko ih je bilo u kutiji, podijelio tako da je svaki dječak dobio jednak broj špekula. Da svojim nećacima, kojih je tri, nije dao niti jednu špekulu, svaki od njihovih prijatelja dobio bi četiri špekule više. Koliko je dječaka bilo u skupini Pitagorinih nećaka i njihovih prijatelja?

Svaki od x dječaka dobio je jednak broj špekula. Umanjimo li broj dječaka za 3 (nećaci), svaki od preostalih dječaka opet će imati jednak broj špekula, ali po 3 više. Vidimo dakle da je 72 djeljivo bez ostatka sa x, ali i sa x-3. Pogledajmo sada s kojim brojevima je djeljiv broj 72. To su brojevi: 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36 i 72. Brojeve 1,2 i 3 odmah eliminiramo - znamo da je bilo više od 3 dječaka. Među preostalima tražimo dva broja među kojima je razlika 3. To su parovi 3-6, 6-9 i 9-12. Sada lako dobijemo da se radi o paru 6-9. što će reći da je svaki od 9 dječaka dobio po 8 špekula, a oduzmemo li trojici nećaka njihove 24 (3 * 8) špekule, preostalih 6 dječaka tada će imati po 12 špekula.Zadatak se šablonski može riješiti i pomoću sustava dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice: x * y = 72 i (x-3) * (y + 4) = 72, koji se svede na kvadratnu jednadžbu: x**2 - 3x - 54 = 0.


Gazda Marko ima posudu s 12 litara graševine i još dvije posude, jednu od 5 litara i drugu od 8 litara. Pola vina odlučio je darovati svome susjedu profesoru Kosinusu, a vi mu pomozite da pomoću tri posude kojima raspolaže odmjeri točno 6 litara graševine za Kosinusa.

Poigrajte se malo s ovim zadatkom, a ako ne ide, shema je slijedeća: 12-0-0, 4-8-0, 4-3-5, 9-3-0, 9-0-3, 1-8-3. Pozdrav!

Oznake: matematika, zadaci

Koliko puta ste tupo gledali u neku apstraktnu sliku pokušavajući dokučiti njen smisao, njenu "poeziju"? Možemo li takav jedan proces "poniranja" u sliku usporediti sa shvaćanjem matematike? Upravo to tvrdi jedan njemački profesor matematike na čiji sam blog naletio zanimajući se što o matematici pišu u Njemačkoj.
Koliko sam uspio shvatiti, čovjek je mišljenja da se do pravog razumijevanja matematičkih zadataka može doći jedino osobnim naporom i samostalnim rješavanjem, kaže da je slaba korist od serviranja gotovih rješenja. Tako je i sa slikom koju je stavio na blog, kada je uporno promatrate, veli, osjetit ćete klik u glavi i nećete imati dvojbi oko toga što je na njoj! Rješenje ne želi otkriti! Procijenite sami, sliku možete pogledati na adresi: http://halbtagsblog.de/schule/mathematik-ist-wie-dieses-bild/. Pozdrav!

Oznake: matematika

Zadan je jednakostranični trokut stranice a. Konstruirana je kružnica koja prolazi kroz dva tjemena trokuta i presjek njegovih visina. Izračunati površinu P onog dijela zadanog trokuta kojeg od njega odsijeca konstruirana kružnica.(Zadatak je preuzet iz knjige: '500 odabranih i rešenih zadataka iz matematike', Angelov, Branković, Beograd, 1990)

Do sada nisam komentirao zadatke iz geometrije. Razlog je ponajviše u tome što nisam imao pravog alata za crtanje slika. Nedavno sam čuo za program 'Geogebra' koji se već naveliko primjenjuje u osnovnim i srednjim školama u svrhu učenja matematike. U njemu sam izradio potrebne crteže i vjerojatno ću ga koristiti i dalje zbog njegove intuitivnosti i praktičnosti.

Prvo ćemo konstruirati jednakostranični trokut, zatim ćemo spustiti njegove visine ( koje su ujedno i simetrale stranica) i potom označiti njihov presjek sa O. Zatim ćemo konstruirati kružnicu kroz dva tjemena A i B i ortocentar O. Znamo da kroz tri točke možemo povući samo jednu kružnicu, u Geoalgebri imamo alat za takvu konstrukciju. Još uvijek ne znamo gdje točno pada centar ove kružnice, ali znamo sigurno da se nalazi na vertikali (simetrali) s. (Centar kružnice jednako je udaljen od točaka A i B ( kao i svih točaka na kružnici), simetrala s dužine AB po definiciji je skup svih točaka jednako udaljenih od krajeva dužine A i B, pa zaključujemo da je i centar O1 jedna od tih točaka na simetrali. ) Označit ćemo na slici i centar O1 pa ćemo nastaviti sa razmatranjem( mi još uvijek ne znamo koliko je centar udaljen od točaka A, B i O, ali koristimo blagodati programa).

Idemo dalje: jasno je da je kut "AOB = 120 ş. Kako to znamo? Rekli smo da je O ujedno i centar opisane kružnice trokuta łABC, znamo za poučak da je centralni kut kružnice ("AOB) dvostruko veći od odgovarajućeg obodnog kuta (kut ACB). Mogli smo to zaključiti i ovako: kut "OAB iznosi 30 ş ( jer je linija AO u jednakostraničnom trokutu ujedno i simetrala kuta), isto toliko iznosi i kut "ABO pa proizlazi "AOB = 120 ş.

Nadalje lako zaključujemo: kutovi "AOO1 = "BOO1 = 60 ş(okomica COO1 dijeli trokut łABO na dva osno-simetrična trokuta). Pogledajmo opet sliku:

Sve navodi na to da vrijedi: R=AO=OO1, dakle da je trokut łAO1O također jednakostraničan...
Prisjetimo se sada da u svaku kružnicu možemo upisati šest jednakostraničnih trokuta(slika):

Zaključujemo da i ovdje imamo taj slučaj, tj. trokuti łAO1O i łOO1B su jednakostranični, a radijus R=AO. Kako je točka O ujedno i težišnica trokuta łABC, vrijedi R=AO= * h = * *= .
Sada je lako pronaći traženu površinu kao razliku površina kružnog isječka (određenog sa točkama O1 , A i B) i trokuta łAO1B. Dobit ćemo:

Za rješavanje geometrijskih zadataka najbitnija je sposobnost sagledavanja bitnih elemenata u zadatku, kao i njihovih međusobnih odnosa u cjelini. Vrlo često potrebno je napraviti dodatne konstrukcije da bi se izvukli potrebni zaključci. Može se reći da je za rješavanje ovakvih zadataka potrebno krenuti od prave ideje, a ideja se dobija boljim upoznavanjem sa problemom. U kvalitetnoj nastavi matematike učenike se stimulira modelima geometrijskih tijela, raznim pomagalima koja simuliraju preslikavanja, programima poput Geogebre koji su također izvrsni za bolje upoznavanje učenika sa materijom. Nakon toga, rezultati u rješavanju zadataka ne mogu izostati.

Oznake: matematika, zadaci